Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，f（2）=2，當x＞0時，有f（x）＞xf′（x）恒成立，不等式f（x）＞x的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：構造函數g（x）=

f(x)

x

，由導函數的符號判斷出函數g（x）的單調性，由函數f（x）的奇偶性得到函數g（x）的奇偶性，利用單調性求出不等式得解集即可．

解答：解：構造函數g（x）=

f(x)

x

，則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

∵x＞0時，有f（x）＞xf′（x）
∴x＞0時，g′（x）＜0，即x＞0時，函數單調遞減
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴g（x）=

f(x)

x

是定義在R上的奇函數
∴x＜0時，函數g（x）單調遞減
∵f（2）=2，∴g（2）=1
∴不等式f（x）＞x等價于

x＞0 g(x)＞g(2)

或

x＜0 g(x)＞g(-2)

∴0＜x＜2或x＜-2
故選D．

點評：本題考查了由條件構造函數和用導函數的符號判斷函數的單調性，利用函數的單調性和奇偶性的關系對不等式進行轉化，屬于中檔題．