Question

為激發學生的學習興趣，吳萱老師上課時在黑板上寫出三個集合：A={x|x（△•x-1）＜0}，B={x|x²-3x-4≤0}，C={x|log₃x＜-1}；然后叫小南、小廣、小郎三位同學到講臺上，并將“△”中的數告訴了他們，要求他們各用一句話來描述，以便同學們能確定該數．以下是小南、小廣、小郎三位同學的描述：小南：此數為小于6的正整數； 小廣：A是B成立的充分不必要條件； 小郎：A是C成立的必要不充分條件．若老師評說三位同學說的都對．
（Ⅰ）試求“△”中的數；
（Ⅱ）若D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}，求a的一個取值范圍，使它成為一個必要不充分條件．

Answer 1

解：（I）由題意B={x|x²-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，C={x|log₃x＜-1}={x|0＜x＜}
A={x|x（△•x-1）＜0}={x|0＜x＜}
由A是B成立的充分不必要條件知，A真包含于B，故 ≤4，再由此數為小于6的正整數得出△≥，
由A是C成立的必要不充分條件得出C包含于A，故 ＞，得出△＜3，
所以△=1或2；
（II）當△=1時，A={x|x（x-1）＜0}={x|0＜x＜1}，
D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此時不可能成立，
當△=2時，A={x|x（2x-1）＜0}={x|0＜x＜}，
D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此時要使成立，
則-a＜8，即a＞-8，故D={x|-a≤x≤8}，
當-a≤0時，即a≥0時，此時a的取值集合是一個必要不充分條件．
故所求的a的一個取值范圍是[0．+∞）．
分析：（I）先求出兩個集合B，C，再根據三位同學的描述確定集合A與兩個集合B，C之間的關系，推測出△的可能取值；
（II）要求的必要不充分條件，即求一個a的一個取值集合M，使得的a的一個取值集合N?M．
點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷、集合中的參數取值問題，解題的關鍵是根據題設條件中三個同學的描述得出三個集合之間的包含關系，由這些關系得出所求的參數滿足的條件，本題考查了推理論證的能力及運算能力．