Question

設O為坐標原點，曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關于直線x+my+4=0對稱，又滿足

OP

•

OQ

=0．
（1）求m的值；
（2）求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關于直線x+my+4=0對稱，說明曲線是圓，直線過圓心，易求m的值；
（2）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯立方程組，結合韋達定理，以及

OP

•

OQ

=0． 求得k的方程，然后求直線PQ的方程．

解答：解：（1）曲線方程為（x+1）²+（y-3）²=9表示圓心為（-1，3），半徑為3的圓．
∵點P、Q在圓上且關于直線x+my+4=0對稱，
∴圓心（-1，3）在直線上．代入得m=-1．
（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，
∴設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．
將直線y=-x+b代入圓方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b+1）＞0，得2-3

2

＜b＜2+3

2

．
由韋達定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=

b2-6b+1

2

．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=

b2-6b+1

2

+4b．
∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3

2

，2+3

2

）．
∴所求的直線方程為y=-x+1．

點評：本題考查直線與圓的方程的應用，直線的一般式方程，考查函數與方程的思想，是中檔題．