Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）若，求直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)在曲線上，且到直線距離的最大值為，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）.

【解析】

（1）求出直線的普通方程，聯(lián)立直線與曲線的普通方程，即可求得直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）求得圓的圓心到直線的距離為，將直線的方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，即為直線的斜率.

（1）當(dāng)時，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將直線的參數(shù)方程化為普通方程得，

曲線的極坐標(biāo)方程可化為，由可得曲線的普通方程為，

聯(lián)立，解得或，

因此，直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和；

（2）由題意可知，直線是過點(diǎn)且傾斜角為的直線，點(diǎn)在圓上，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，

設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為，得，

在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)得，

由點(diǎn)到直線的距離公式得，則，

，，

因此，直線的斜率為.