Question

某人進行射擊訓練，擊中目標的概率是

4

5

，且各次射擊的結果互不影響．
（Ⅰ）假設該人射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率；
（Ⅱ）假設該人每射擊5發子彈為一組，一旦命中就停止，并進入下一組練習，否則一直打完5發子彈才能進入下一組練習，求：
①在完成連續兩組練習后，恰好共使用了4發子彈的概率；
②一組練習中所使用子彈數ξ的分布列，并求ξ的期望．

Answer 1

分析：（I）利用獨立重復試驗的概率公式，即可求射擊5次，恰有2次擊中目標的概率；
（Ⅱ）①利用獨立重復試驗的概率公式，可求完成兩組練習后，恰好共耗用4發子彈的概率；
②確定ξ可能取值，求出相應的概率，從而可得分布列與期望．

解答：解：（I）設射擊5次，恰有2次擊中目標的事件為A．
∴P(A)=

C

2 5

•(

4

5

)2•(1-

4

5

)3=

32

625

…（4分）
（Ⅱ）①完成兩組練習后，恰好共耗用4發子彈的事件為B，則
P（B）=0.8•（1-0.8）²•0.8+（1-0.8）•0.8（1-0.8）•0.8+（1-0.8）²•0.8•08=0.0768．…（8分）
②ξ可能取值為1，2，3，4，5．…（9分）
P（ξ=1）=0.8；   P（ζ=2）=（1-0.8）•0.8=0.16；
P（ζ=3）=（1-0.8）²•0.8=0.032；P（ζ=4）=（1-0.8）³•0.8=0.0064；
P（ζ=5）=（1-0.8）⁴•0.8=0.00128（11分）
ζ的分布列為

ζ	1	2	3	4	5
P	0.8	0.16	0.032	0.0064	0.00128

∴Eζ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.0064+5×0.00128=1.248…（13分）

點評：本題考查獨立重復試驗的概率，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是求出取值相應的概率，屬于中檔題．