Question

如圖，在五面體ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD 　

(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小；

(II) 證明平面AMD平面CDE；

（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

Answer 1

本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力。

方法一：（Ⅰ）解：由題設知，BF//CE，所以∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角。設P為AD的中點，連結EP，PC。因為FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）證明：因為

（III）

由（I）可得，

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

方法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，

點為坐標原點。設依題意得      

（I）   w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以異面直線與所成的角的大小為.

（II）證明：  ，

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（III）

又由題設，平面的一個法向量為

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m