Question

一元三次函數f（x）的三次項系數為

a

3

，f′（x）+9x＜0的解集為（1，2），
（1）若f′（x）+7a=0，求f′（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上單調增，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據一元三次函數f（x）的三次項系數為

a

3

假設出解析式，然后對函數f（x）進行求導，根據f’（x）+9a＜0的解集為（1，2）可用a表示出b，c的關系式，最后由f′（x）+7a=0求出a的范圍，進而得到函數f′（x）的解析式．
（2）由f（x）在R上單調增，根據函數的單調性與其導函數的正負之間的關系可判斷f'（x）≥0在R上恒成立，進而求出a的范圍．

解答：解解：∵一元三次函數f（x）的三次項系數為

a

3

，
設f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c
∵f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x＜0的解集為（1，2），
∴f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x=a（x-1）（x-2）＜0
b=-

9+3a

2

，c=2a（a＞0）
（1）由上f'（x）+7a=ax²-（9+3a）x+9a=0成立
∴△=（9+3a）²-36a²≥0
∴-1≤a≤3又因為a＞0∴0＜a≤3
∴f′（x）=ax²-（9+3a）x+2a（0＜a≤3）
（2）∵f（x）在R上單調增，
∴f'（x）=ax²-（9+3a）x+2a≥0在R上恒成立
∴△=（9+3a）²-8a²=a²+54a+81≤0
∴-27-18

2

 ≤a≤-27+18

2

又因為a＞0∴0＜a≤-27+18

2

點評：本題主要考查函數的求導運算和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．