Question

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，則x₁•x₂=（ ）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，x₁是函數y= 和y=lgx交點M的橫坐標，x₂ 是函數y=和y=10^x的圖象的交點N的橫坐標．由于函數y=10^x和y=lgx互為反函數，故線段MN的中點G在直線y=x上．由于M（x₁，），N（x₂，），G（，），可得 =，由此求得 x₁•x₂ 的值．
解答：解：已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，則x₁是函數y= 和y=lgx交點M的橫坐標，
x₂ 是函數y=和y=10^x的圖象的交點N的橫坐標．
由于 函數y=10^x和y=lgx互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱，故M、N兩個點關于直線y=x對稱，
即線段MN的中點G在直線y=x上．
由于M（x₁，），N（x₂，），G（，），
∴=，∴x₁•x₂=2009，
故選D．
點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，互為反函數的兩個函數的圖象間的關系，屬于中檔題．