Question

（12分）（已知拋物線，過定點的直線交拋物線于A、B兩點.

   （Ⅰ）分別過A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點，求證：這兩條切線的交點在定直線上.

   （Ⅱ）當時，在拋物線上存在不同的兩點P、Q關于直線對稱，弦長|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，請說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)由，得，設

過點A的切線方程為：，即

同理求得過點B的切線方程為：

∵直線PA、PB過，∴,

∴點在直線上，∵直線AB過定點，

∴，即∴兩條切線PA、PB的交點在定直線上.

   （Ⅱ） 設，設直線的方程為：，

則直線的方程為：，

，

，              ①

設弦PQ的中點，則

∵弦PQ的中點在直線上，∴，

即      ②

②代入①中，得            ③

由已知，當時， 弦長|PQ|中不存在最大值.

當時，這時，此時，弦長|PQ|中存在最大值，

即當時，弦長|PQ|中的最大值為

 

【解析】略