Question

給出下列四個命題：
①“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②對于任意實數x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
則x＜0時，f′（x）＞g′（x）；
③函數f(x)=loga

3+x

3-x

(a＞0，a≠1)是偶函數；
④若對?x∈R，函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），則4是該函數的一個周期，其中真命題的個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題意，依次分析可得，①符合特稱命題的否定形式，正確；②分析可得f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，由奇偶函數的性質可得x＜0時，f′（x）＞0，g′（x）＜0，易得②正確；③將（-x）代入f（x）中，分析可得，f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數，故錯誤；④根據題意，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則4是該函數的一個周期，正確；進而可得答案．

解答：解：由題意，依次分析可得，
①、符合特稱命題的否定形式，正確；
②、根據題意，f（x）是奇函數，g（x）是偶函數；又由奇函數在定義域內單調性相同，偶函數單調性相反，所以x＜0時，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x），故正確；
③、根據題意，f（-x）=loga

3-x

3+x

=-loga

3+x

3-x

=-f（x），則f（x）是奇函數，錯誤；
④、根據題意，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則4是該函數的一個周期，正確；
綜合可得，有3個命題正確，
故選C．

點評：本題考查命題真假的判斷，涉及特稱命題的否定、函數的周期性、單調性的判斷等知識點，綜合性很強，需要認真分析．