Question

袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是

1

3

，從B中摸出一個紅球的概率是

2

3

．現從兩個袋子中有放回的摸球•
（I）從A中摸球，每次摸出一個，共摸5次．求：
（i）恰好有3次摸到紅球的概率；
（ii）設摸得紅球的次數為隨機變量X，求X的期望；
（Ⅱ）從A中摸出一個球，若是白球則繼續在袋子A中摸球，若是紅球則在袋子B中摸球，若從袋子B中摸出的是白球則繼續在袋子B中摸球，若是紅球則在袋子A中摸球，如此反復摸球3次，計摸出的紅球的次數為Y，求Y的分布列以及隨機變量Y的期望．

Answer 1

分析：（I）（i）由題意知本題是在相同的條件下進行的試驗，且事件發生的概率相同，可以看作獨立重復試驗，根據獨立重復試驗公式得到結果．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，是獨立重復試驗，根據獨立重復試驗公式得到答案．
（II）由題意知計摸出的紅球的次數為Y，隨機變量Y的取值為0，1，2，3；由獨立試驗概率公式得到概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）（i）由題意知本題是在相同的條件下進行的試驗，且事件發生的概率相同，可以看作獨立重復試驗，
根據獨立重復試驗公式得到，恰好有3次摸到紅球的概率：C₅³×（

1

3

）³×（

2

3

）²=

40

243

．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，是獨立重復試驗，
根據獨立重復試驗公式得到：X～B（5，

1

3

），
∴EX=5×

1

3

=

5

3

．
（II）∵隨機變量Y的取值為0，1，2，3；且：
P（Y=0）=（1-

1

3

）³=

8

27

；
P（Y=1）=

1

3

×（

1

3

）²+（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

+

1

3

×（1-

1

3

）²=

7

27

；
P（Y=2）=

1

3

×（1-

1

3

）²+（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

+

1

3

×（1-

1

3

）²=

10

27

；
P（Y=3）=（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

=

2

27

；
隨機變量Y的分布列是：

∴Y的數學期望是EY=

11

9

．

點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．