Question

在公差不為零的等差數列{a_n}中，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1a_n²，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設公差為d，由a₂，a₅，a₁₄成等比數列，可得d的方程，解出d后利用等差數列的通項公式可得a_n；
（2）由b_n=（-1）^n-1a_n²=（-1）^n-1（2n-1）²知，Sn=12-32+52-72+…+（-1）^n-1（2n-1）²，分n為偶數，n為奇數兩種情況進行討論，利用并項求和可得結果；

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d（d≠0），則(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，
又a₁=1，∴d²-2d=0，
∵d≠0，∴d=2，
故a_n=2n-1；
（2）由b_n=（-1）^n-1a_n²=（-1）^n-1（2n-1）²知，Sn=12-32+52-72+…+（-1）^n-1（2n-1）²，
①當n=2k（k∈N*）時，Sn=(12-32)+(52-72)+…+[（4k-3）²-（4k-1）²]
=-2[4+12+20+…+（8k-4）]=-8k²=-2n²；
②當n=2k-1（k∈N*）時，Sn=(12-32)+(52-72)+…+[（4k-3）²-（4k-1）²]
+（4k-1）²=-8k²+（4k-1）²=-2（n+1）²+[2（n+1）-1]²=2n²-1；
綜上所述Sn=

2n2-1，n為奇數 -2n2，n為偶數

（n∈N*）．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列求和，考查分類討論思想，具有一定思維含量．