Question

求下列二次函數的解析式：
（1）圖象頂點坐標為（2，-1），與y軸交點坐標為（0，11）；
（2）已知二次函數f（x）滿足f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．

Answer 1

解：（1）設y=a（x-2）²-1．
將（0，11）代入可得：11=4a-1，于是a=3，
所以y=3（x-2）²-1=3x²-12x+11．
（2）設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=1，可知c=1．
而f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，
由f（x+1）-f（x）=2x，可得2a=2，a+b=0．
因而a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x+1．
分析：（1）因為拋物線的頂點坐標已知，所以根據頂點坐標設出拋物線的頂點式，把（0，11）代入即可求出a的值；
（2）設出二次函數的一般式，由f（0）=1，代入可得c的值，然后把f（x+1）和f（x）分別代入到f（x+1）-f（x）=2x中，根據多項式相等時系數相等的方法即可求出a與b的值，把a，b和c的值代入即可確定出f（x）的解析式．
點評：此題考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，掌握多項式相等的條件和二次函數的性質，是一道綜合題．