Question

已知函數f（x）=

a•2x+a-1

2x+1

．
（I）求證：不論a為何實數f（x）總為增函數；
（II）確定a的值，使f（x）為奇函數；
（Ⅲ）當f（x）為奇函數時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）應用增函數的定義證明；
（II）根據奇函數定義，在定義域內f（-x）=-f（x）恒成立可求a值；
（Ⅲ）利用2^x＞0及函數單調性可求．

解答：（I）證明：f（x）=

a•2x+a-1

2x+1

=a-

1

2x+1

，
設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為x₁0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）＜-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故不論a為何實數f（x）總是為增函數；
（II）若f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-（a-

1

2x+1

），
所以2a=

1

2-x+1

+

1

2x+1

=1，即a=

1

2

．
故當a=

1

2

時，f（x）為奇函數．
（Ⅲ）由（II）知，若f（x）為奇函數，a=

1

2

，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
因為2^x＞0，所以0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，所以-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
故f（x）的值域為（-

1

2

，

1

2

）．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，其定義是解決該類問題的基本方法．