Question

20．如圖，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1．另一個側面ABC是正三角形．

  (1)求證：AD⊥BC；

  (2)求二面角B-AC-D的大�。�

  (3)在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角?若存在,確定點E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

解法一：

（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，連DH.AB⊥BDHB⊥BD，∵AD=，BD=1

∴AB==BC=AC  ∴BD⊥DC

又BD=CD，則BHCD是正方形.

則DH⊥BC.∴AD⊥BC.

方法二：取BC的中點O，連AO、DO，則有AO⊥BC，DO⊥BC.

∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD.

(2)作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，

則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角.

∵AB=AC=BC=，∴M是AC的中點，且MN∥CD.

則BM=，MN=CD=，BN=AD=.

由余弦定理得cos∠BMN=,∴∠BMN=arccos.

(3)設E為所求的點，作EF⊥CH于F，連FD.則EF∥AH,

∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED與面BCD所成的角，則∠EDF=30°.

設EF=x，易得AH=HC=1，則CF=x，FD=.

∴tan∠EDF=,解得x=,則CE=x=1.

故線段AC上存在E點，且CE=1時，ED與面BCD成30°角.

解法二：

（1）作AH⊥面BCD于H，連BH、CH、DH，則四邊形BHCD是正方形，且AH=1，

以D為原點，以DB為x軸，DC為y軸建立空間直角坐標系如圖，

則B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).

=（-1，1，0），=(1,1,1),

∴·=0，則BC⊥AD.

(2)設平面ABC的法向量為=(x,y,z),

   則由知：= -x+y=0；

   同理由知=x+z=0.

   可取=（1，1，-1）.

   同理，可求得平面ACD的一個法向量為=(1,0,-1).

由圖可以看出，二面角B-AC-D的大小應等于<，>

  則cos<，>=,即所求二面角的大小是arccos.

(3)設E(x,y,z)是線段AC上一點，則x=z＞0,y=1,

  平面BCD的一個法向量為=(0,0,1),=(x,1,x),

  要使ED與面BCD成30°角，由圖可知與的夾角為60°，

  所以cos<,>=

則2x=,解得，x=,則CE=x=1.

故線段AC上存在E點，且CE=1時，ED與面BCD成30°角.