Question

已知函數f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x．
（Ⅰ）當a=3時，求函數f（x）的極大值；
（Ⅱ）若函數f（x）存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=3時，利用導數求出單調區間，得出極值點，求得極值．
（Ⅱ）題意f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．

解答：（Ⅰ）解：f(x)=lnx-

3

2

x2-2x，f′(x)=-

3x2+2x-1

x

(x＞0)．
由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

3

，由f′（x）＜0，得x＞

1

3

．
所以y=f（x）存在極大值f(

1

3

)=-

5

6

-ln3．
（Ⅱ）解：f′(x)=-

ax2+2x-1

x

(x＞0)，
依題意f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
當a≥0時，顯然有解；
當a＜0時，由方程ax²+2x-1=0至少有一個正根，得-1＜a＜0；   所以a＞-1．

點評：本題考查函數導數與單調性的關系，函數極值，零點存在性定理．考查推理論證，運算求解能力．