Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為60°的直線l，交拋物線于A、B兩點，且|FA|=3，則拋物線的方程是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先根據拋物線定義以及有一個角是60°的直角三角形的性質，證明|AF|=3|BF|，再根據|AF|=3，求出|AB|長，設出直線AB方程，與拋物線方程聯立，利用拋物線中焦點弦公式，把|AB|長用含p的式子表示，由|AB|=4，解出p值．

解答： 解：過點A，B向準線x=-

p

2

作垂線，垂足分別為C，D，過B點向AC作垂線，垂足為E
∵A，B兩點在拋物線y=2px上，∴|AC|=|AF|，|BD|=|BF|
∵BE⊥AC，∴|AE|=|AF|-|BF|，
∵直線AB的傾斜角為60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|
即2（|AF|-|BF）=|AF|+|BF|，∴|AF|=3|BF|
∵|AF|=3，∴|BF|=1，∴|AB|=|AF|+|BF|=4
設直線AB方程為y=

3

（x-

p

2

），代入y²=2px，得3x²-5px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

5p

3

∴|AB|=x₁+x₂+p=4
∴P=

3

2

，∴拋物線方程為y²=3x
故答案為：y²=3x．

點評：本題主要考察了應用拋物線定義求弦長，做題時要善于轉化．