Question

16．已知等差數列{a_n}滿足：a₅=9，a₁+a₇=14．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n+3ⁿ，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數列的性質可得a₁+a₇=2a₄．即a₄=7，則d=a₅-a₄=2，由等差數列的通項公式a_n=a₅+2（n-5），即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：b_n=a_n+3ⁿ=2n-1+3ⁿ，根據等差數列和等比數列前n項和公式，采用分組求和，即可求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）由等差數列的性質可得a₁+a₇=2a₄．
∴a₄=7，
∴d=a₅-a₄=2，
∴等差數列的通項公式a_n=a₅+2（n-5）=2n-1，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；…（5分）
（2）由（1）可知：a_n=2n-1，得b_n=a_n+3ⁿ=2n-1+3ⁿ，
數列{b_n}的前n項和S_n，S_n=（1+3+5+…+2n-1）+（3+3²+3³+…+3ⁿ），
=$\frac{（1+2n-1）n}{2}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$，
=n²+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=n²+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，…（10分）

點評 本題考查等差數列性質，采用分組求和，求等差數列和等比數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．