Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足4b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+1)bn，證明：{b_n}是等差數列；
（3）證明：

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜

2

3

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由題設知a_n+1+1=2（a_n+1），所以數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，所以a_n=2ⁿ-1．
（2）由題設知4(b1+b2++bn-n)=2nbn，由此能推導出nb_n-2=（n-1）b_n+1，從而得到2b_n+1=b_n+b_n-1，所以數列{b_n}是等差數列．
（3）設S=

1

a2

+

1

a3

++

1

an+1

，則S＜

1

a2

+

1

2

(

1

a2

+

1

a3

++

1

an

)=

1

a2

+

1

2

(S-

1

an+1

)，由此能夠證明出

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜

2

3

(n∈N*)．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1）（2分）
故數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．（3分）
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1（4分）

（2）∵4b1-14b2-14b3-14bn-1=(an+1)bn，
∴4(b1+b2++bn-n)=2nbn（5分）
2（b₁+b₂++b_n）-2n=nb_n①2（b₁+b₂++b_n+b_n+1）-2（n+1）=（n+1）b_n+1②
②-①得2b_n+1-2=（n+1）b_n+1-nb_n，
即nb_n-2=（n-1）b_n+1③（8分）
∴（n+1）b_n+1-2=nb_n+2④
④-③得2nb_n+1=nb_n+nb_n-1，即2b_n+1=b_n+b_n-1（9分）
所以數列{b_n}是等差數列．

（3）∵

1

an

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2

1

an-1

（11分）
設S=

1

a2

+

1

a3

++

1

an+1

，
則S＜

1

a2

+

1

2

(

1

a2

+

1

a3

++

1

an

)
=

1

a2

+

1

2

(S-

1

an+1

)（13分）
S＜

2

a2

-

1

an+1

=

2

3

-

1

an+1

＜

2

3

（14分）

點評：本題考查數列和不等式的綜合應用題，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．