Question

（2013•湖南）設F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P是C上一點，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小內角為30°，則C的離心率為

3

．

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義求出|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|，然后利用最小內角為30°結合余弦定理，求出雙曲線的離心率．

解答：解：因為F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且滿足|PF₁|+|PF₂|=6a，
不妨設P是雙曲線右支上的一點，由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a
所以|F₁F₂|=2c，|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∵△PF₁F₂的最小內角∠PF₁F₂=30°，由余弦定理，
∴|PF₂|²=|F₁F₂|²+|PF₁|²-2|F₁F₂||PF₁|cos∠PF₁F₂，
即4a²=4c²+16a²-2c×4a×

3

，
∴c²-2

3

ca+3a²=0，
∴c=

3

a
所以e=

c

a

=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查雙曲線的定義，雙曲線的離心率的求法，考查計算能力．