Question

已知函數，數列{a_n}滿足a₁＞0，且a_n=f^-1（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）若數列{a_n}的前n項和為S_n，試比較S_n與na_n的大��；
（2）若a₁=1，證明：S_n+a_n＞1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知f（x）在（0，+∞）上為增函數．所以．又=，．所以a₁＞2a₂＞2²a₃＞…＞2^n-1a_n，由此能導出S_n＞na_n．
（2）由S_n＞（2ⁿ-1）a_n，知S_n+a_n＞2ⁿa_n．只需比較a_n與即可．（a_n²+1）-（1+a_n）²=-2a_n＜0，所以0＜a_n+1＜1，0＜a_n＜1．由此能夠證明．∴．
解答：解：（1），
則，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數．（2分）
∵a_n=f^-1（a_n+1），
∴．（4分）
又=，
∵，
∴．
∴a₁＞2a₂＞2²a₃＞＞2^n-1a_n，
∴S_n=a₁+a₂+a_n＞2^n-1a_n+2^n-2a_n+a_n=（2ⁿ-1）a_n，
∴S_n-na_n＞（2ⁿ-n-1）a_n，∵2ⁿ-n-1=（1+1）ⁿ-n-1≥0
∴S_n-na_n＞0，∴S_n＞na_n．（8分）
（2）由（1）知S_n＞（2ⁿ-1）a_n，∴S_n+a_n＞2ⁿa_n．
下面只需比較a_n與即可．（9分）
∵（a_n²+1）-（1+a_n）²=-2a_n＜0
∴0＜a_n+1＜1，∴0＜a_n＜1．
∴，∴，即．
∴，∴，
故．∴．（12分）
點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要注意公式的合理運用．