Question

已知點D在定線段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一個動圓C過點D且與MN相切，分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P．

(Ⅰ)建立適當的直角坐標系，求點P的軌跡方程；

(Ⅱ)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B，若(＋λ)·(－λ)＝0，且λ∈[2－，2＋]，求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O， 　　建立直角坐標系xOy．　　　1分 　　∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝2 　　或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－2　　　3分 　　∴點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線(不包含頂點)， 　　其軌跡方程為(y≠0)　　5分 　　(Ⅱ)∵(＋λ)·( －λ)＝0，且λ∈[2－，2＋]， 　　∴＝±λ，　　　6分 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2) 　　設AB：my＝x＋2，代入得，3(my－2)2－y2－3＝0， 　　即(3m2－1)y2－12my＋9＝0． 　　∴　　　7分 　　①當＝λ時，y1＝λy2，∴　　　8分 　　得，，　　　9分 　　∴∈[4，6]，即4≤≤6． 　　∴　解得，m2≥3，故tan2θ≤　　　10分 　　②當＝－λ時y1＝－λy2，∴　　　11分 　　得，，即． 　　∵λ∈[2－，2＋]，∈[2，4] 　　∴∈[－2，0]，即－2≤≤0． 　　∴　即，故tan2θ≥11．　　　13分 　　由①、②得tan2θ≤或tan2θ≥11． 　　則夾角θ∈(0，]∪[arctan，)，　　　14分 　　∵tanθ不存在時，直線l符合條件，故θ＝時，符合題意． 　　∴θ∈(0，]∪[arctan，)．　　　15分