Question

如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C是圓O上的點．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PA⊥圓所在的平面，可得PA⊥BC，由直徑對的圓周角等于90°，可得BC⊥AC，根據直線和平面垂直
的判定定理可得結論．
（2）連接OG并延長交AC于點M，則由重心的性質可得M為AC的中點．利用三角形的中位線性質，證明OM∥BC，
QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，從而證明QG∥平面PBC．
解答：解：（1）AB是圓O的直徑，PA⊥圓所在的平面，可得PA⊥BC，
C是圓O上的點，由直徑對的圓周角等于90°，可得BC⊥AC．
再由AC∩PA=A，利用直線和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．
（2）若Q為PA的中點，G為△AOC的重心，連接OG并延長交AC于點M，則由重心的性質可得M為AC的中點．
故OM是△ABC的中位線，QM是△PAC的中位線，故有OM∥BC，QM∥PC．
而OM和QM是平面OQM內的兩條相交直線，AC和BC是平面PBC內的兩條相交直線，故平面OQM∥平面PBC．
又QG?平面OQM，∴QG∥平面PBC．
點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、直線和平面平行的判定定理的應用，屬于中檔題．