Question

已知拋物線x²=4y的焦點(diǎn)是橢圓 一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓C的離心率為，另有一圓O圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）已知M（x，y）是圓O上任意一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得b的值，利用橢圓C的離心率為，另有一圓O圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，即可求橢圓C和圓O的方程；
（2）分類(lèi)討論，利用韋達(dá)定理，計(jì)算斜率的積為-1，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：由x²=4y可得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），∴b=1，
又∵，∴，∴a²=4，
∴，
∴橢圓C的方程為，圓O的方程為x²+y²=5
（2）證明：若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），則過(guò)這四點(diǎn)分別作滿足條件的直線l₁，l₂，若一條直線斜率為0，則另一條斜率不存在，則l₁⊥l₂
若直線l₁，l₂斜率都存在，則設(shè)過(guò)M與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為y-y=k（x-x），
由得
即
則
化簡(jiǎn)得
又，
∴
設(shè)直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，因?yàn)閘₁，l₂與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以k₁，k₂滿足，
∴，
∴l(xiāng)₁⊥l₂
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．