Question

某電廠冷卻塔外形是如圖1-7-8所示的雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面,其中A,A′是雙曲線的頂點,C,C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B,B′是冷卻塔下底直徑的兩個端點,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

圖1-7-8

(1)建立坐標系并寫出該曲線的方程;

(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m³,塔壁厚度不計,π取3.14).

Answer 1

思路分析:設出雙曲線的方程,利用待定系數法求方程;利用定積分求旋轉體的體積.

解:(1)建立如圖所示的直角坐標系xOy,使AA′在x軸上,AA′的中點為坐標原點O,CC′與BB′平行于x軸.

設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0),則a=AA′=7.

設B(11,y₁),C(9,y₂),因為點B,C在雙曲線上,所以有

=1,①

=1,②

由題意,知y₂-y₁=20.③

由①②③得y₁=-12,y₂=8,b=.

故所求的雙曲線方程為=1.

(2)由雙曲線方程得x²=y²+49.

設冷卻塔的容積為V(m³),

則V=π

=π(y³+49y)=4.25×10³(m³).

答:冷卻塔的容積為4.24×10³(m³).