Question

6．如圖，在棱長均為2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點M是側棱AA₁的中點，點P、Q分別是側面BCC₁B₁、底面ABC內的動點，且A₁P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，則點Q的軌跡的長度為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根據已知可得點Q的軌跡是過△MBC的重心，且與BC平行的線段，進而根據正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱長均為2，可得答案．

解答 解：∵點P是側面BCC₁B₁內的動點，且A₁P∥平面BCM，
則P點的軌跡是過A₁點與平面MBC平行的平面與側面BCC₁B₁的交線，
則P點的軌跡是連接側棱BB₁，CC₁中點的線段l，
∵Q是底面ABC內的動點，且PQ⊥平面BCM，
則點Q的軌跡是過l與平面MBC垂直的平面與平面MBC的線段m，

故線段m過△MBC的重心，且與BC平行，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱長均為2，
故線段m的長為：$\frac{2}{3}$×2=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$

點評 本題考查的知識點是平面與平面之間的位置關系，棱柱的幾何特征，動點的軌跡，難度中檔．