Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對邊分別為a，b，c．已知

m

=(sinC，sinBcosA)，

n

=(b，2c)且.

m

•

n

=0
（1）求∠A大小．
（2）若a=2

3

，c=2，求△ABC的面積S的大小．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則化簡

m

•

n

=0后，再根據正弦定理變形，根據bc不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）由a，c及cosA的值，利用余弦定理求出b的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=0，
∴（sinC，sinBcosA）•（b，2c）=0．
∴bsinC+2csinBcosA=0．
根據正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

，
∴bc+2cbcosA=0．
∵b≠0，c≠0，
∴1+2cosA=0．
∴cosA=-

1

2

．
∵0＜A＜π，
∴A=

2π

3

．
（2）△ABC中，∵a²=c²+b²-2cbcosA，
∴12=4+b²-4bcos120°．
∴b²+2b-8=0．∴b=-4（舍），b=2．
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，正弦、余弦定理及三角形的面積公式，熟練掌握法則及定理是解本題的關鍵．