Question

已知A={a₁,a₂,a₃,a₄,a₅},B={a₁²,a₂²,a₃²,a₄²,a₅²},a_i∈N^*(i=1,2,3,4,5),設a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅且A∩B={a₁,a₄},a₁+a₄=10,又A∪B元素之和為224,

求:(1)a₁,a₄;

(2)a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²;

(3)a₅;

(4)A.

Answer 1

解：(1)∵A∩B={a₁,a₄},且a₁+a₄=10,從而兩個完全平方數的和為10,

∴這兩個數只能為1,9,又a₁＜a₄,∴a₁=1,a₄=9.

(2)∵A∪B的元素之和為224,

∴a₂+a₃+a₅+a₁²+a₂²+a₃²+a₄²+a₅²=224,

而a₁²+a₄²=82,

∴a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²=142.

(3)∵a₄=9,a₅＞a₄,若a₅≥11,

則a₂+a₃+a₂²+a₃²≤10,

這不可能,∴a₅=10.

(4)∵A∩B={a₁,a₄}={1,9},a₁＜a₂＜a₃＜a₄,

∴a₂²=9或a₃²=9,即a₂=3或a₃=3.

若a₂=3,則a₃+a₃²=20.

∵a₃∈N^*,∴a₃=4,符合題意.

若a₃=3,則a₂+a₂²=20.

∵a₂∈N^*,∴a₂=4＞a₃,與a₂＜a₃矛盾.

∴a₂=3,a₃=4.∴A={1,3,4,9,10}.