Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，側棱BB₁與底面ABC所成角為，且側面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）證明：點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點；
（2）求二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）求點A₁到平面CB₁A的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B₁點作B₁O⊥BA，由面面垂直的性質，可得A₁O⊥面ABC，即O為點B₁在平面ABC上的射影，進而∠B₁BA是側棱BB₁與底面ABC的夾角，由已知中側棱BB₁與底面ABC所成角為，解Rt△BOB₁，易得O是AB的中點．
（2）連接AB₁，過點O作OM⊥AB₁，連接CM，OC，可證得∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角，解Rt△OMC，即可求出二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）方法一：過點O作ON⊥CM，可證得ON⊥面ACB₁，即ON的長度是O點到平面ACB₁DE距離，連接BA₁與B₁A交于H，則H是BA₁的中點，即B與A₁到平面ACB₁的距離相等，結合（1）的結論，求出B到平面ACB₁的距離，即可得到答案．
（3）方法二：根據，分別求出三棱錐的體積和三角形ACB₁的面積，即可得到答案．
解答：證明：（1）過B₁點作B₁O⊥BA．
∵側面ABB₁A⊥底面ABC，∴A₁O⊥面ABC
∴∠B₁BA是側棱BB₁與底面ABC的夾角；
∴∠B₁BO=60°；在Rt△BOB₁中，BB₁=2，∴BO=BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴OB=AB，∴O是AB的中點
即點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點；
解：（2）連接AB₁，過點O作OM⊥AB₁，連接CM，OC
∵OC⊥AB，平面ABC⊥面AA₁BB₁，
∴OM⊥AB₁
∴AB₁⊥CM，∴∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角；
在Rt△OCM中，OC=，OM=，∴tan∠OMC=2
∴二面角C-AB₁-B的正切值為2；
（3）方法一：
過點O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON；
∴ON⊥面ACB₁，∴ON的長度是O點到平面ACB₁DE距離；
在Rt△OMC中，OC=，OM=，∴CM=
∴ON=
連接BA₁與B₁A交于H，則H是BA₁的中點；
∴B與A₁到平面ACB₁的距離相等；
又∵O是AB的中點，∴B到平面AB₁C的距離是O到平面AB₁C距離的2倍；
故A₁到平面AB₁C的距離為
方法二：（體積法）
⇒
又在△ACB₁中，AC=AB₁=2，B₁C=⇒
∴，
∴A₁到平面AB₁C的距離為
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到平面的距離計算，其中熟練掌握棱柱的結構特征，及線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的相互轉化，熟練掌握二面角的定義等基礎知識點是解答本題的關鍵．