Question

如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處．AB=20km，BC=10km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設(shè)管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
（Ⅰ）設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)OP=x（km），將y表示成x的函數(shù)；
（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短．

Answer 1

分析：（1）（i）根據(jù)題意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函數(shù)的關(guān)系可推得OP，從而得出y的函數(shù)關(guān)系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍．（ii）已知OP，可得出OQ的表達(dá)式，由勾股定理推出OA，易得y的函數(shù)關(guān)系式．
（2）欲確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數(shù)關(guān)系式，故可以利用導(dǎo)數(shù)求解最值，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合．

解答：解：（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則OA=

AQ

cosθ

=

10

cosθ

，故OB=

10

cosθ

，又OP=10-10tanθ，
所以y=OA+OB+OP=

10

cosθ

+

10

cosθ

+10-10tanθ，
所求函數(shù)關(guān)系式為y=

20-10sinθ

cosθ

+10(0≤θ≤

π

4

)
②若OP=x（km），則OQ=10-x，所以O(shè)A=OB=

(10-x)2+102

=

x2-20x+200

所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2

x2-20x+200

(0≤x≤10)

（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，y′=

-10cosθ•cosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

10(2sinθ-1)

cos2θ

令y′=0得sinθ=

1

2

，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0＜θ＜

π

4

，所以θ=

π

6

，
當(dāng)θ∈(0，

π

6

)時(shí)，y′＜0，y是θ的減函數(shù)；當(dāng)θ∈(

π

6

，

π

4

)時(shí)，y′＞0，y是θ的增函數(shù)，所以當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，ymin=10+10

3

．這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊

10 3

3

km處．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用．
①生活中的優(yōu)化問題，往往涉及到函數(shù)的最值，求最值可利用單調(diào)性，也可直接利用導(dǎo)數(shù)求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合．用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大（小）值時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)．