Question

已知首項為x₁的數列{x_n}滿足x_n+1=

axn

xn+1

（a為常數）．
（1）若對于任意的x₁≠-1，有x_n+2=x_n對于任意的n∈N^*都成立，求a的值；
（2）當a=1時，若x₁＞0，數列{x_n}是遞增數列還是遞減數列？請說明理由；
（3）當a確定后，數列{x_n}由其首項x₁確定，當a=2時，通過對數列{x_n}的探究，寫出“{x_n}是有窮數列”的一個真命題（不必證明）．說明：對于第3題，將根據寫出真命題所體現的思維層次和對問題探究的完整性，給予不同的評分．

Answer 1

分析：（1）求出x_n+2，代入x_n+1化簡后等于x_n，得到a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，當n=1時，由x₁的任意性得得到a的值即可；
（2）數列為遞減數列，因為當a=1且x₁＞1得到x_n＞0，而x_n+1-x_n=

xn

xn+1

-x_n=-

x 2 n

xn+1

＜0，所以得證；
（3）由a=2得到數列{x_n}滿足x_n+1=

2xn

xn+1

，因為{x_n}是有窮數列，可以令x₁=-

1

7

得到即可．

解答：解：（1）∵x_n+2=

axn+1

xn+1+1

=

a• axn xn+1

axn xn+1 + 1

=

a2xn

axn+xn+1

=x_n
∴a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，當n=1時，由x₁的任意性得

a2=1 a+1=0

，∴a=-1．
（2）數列{x_n}是遞減數列．
∵x₁＞0.xn+1=

xn

xn+1

∴x_n＞0，n∈N^*又x_n+1-x_n=

xn

xn+1

-x_n=-

x 2 n

xn+1

＜0，n∈N^*，
故數列{x_n}是遞減數列．
（3）滿足條件的真命題為：數列{x_n}滿足x_n+1=

2xn

xn+1

，若x₁=-

1

7

，則{x_n}是有窮數列．

點評：考查學生會利用數列的遞推式解決數學問題，會判斷一個數列是遞減或遞增數列．