Question

已知數列{a_n}是公差不為0的等差數列，a₂=2，a₈為a₄和a₁₆的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設．

Answer 1

【答案】分析：（1）設{a_n}的公差為d，由a₂=2，a₈為a₄和a₁₆的等比中項解得，由此能求出a_n．
（2）法一：由，知，故，由裂項求和法能得到結果．
（法二）用數學歸納法進行證明．①當，成立；②假設n=k時，b₁+b₂+…+b_k+1＜，由此得到，當n=k+1時，不等式成立，由①②可得原不等成立．
解答：（1）解：設{a_n}的公差為d，
由題意得…（2分）
解得=1+（n-1）×1=n…（4分）
（2）證明：（法一）
∵，
∴，
∴，
即…9（分）
∴
=1-…（12分）
（法二）
①當，顯然成立 …（5分）
②假設n=k時，b₁+b₂+…+b_k+1
＜…（7分）

=
=
=
∴
∴
即當n=k+1時，不等式成立，由①②可得原不等成立．…（12分）
點評：本題考查數列通項公式的求法和數列前n項和的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法和靈活運用，注意不等式和數列性質的綜合運用，注意數學歸納法的解題步驟．