Question

已知函數f（x）=x³+ax²-2x+5．
（1）若函數f（x）在（

2

3

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，求實數a的值；
（2）是否存在正整數a，使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是單調遞增函數也不是單調遞減函數？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，再根據f（x）=x³+ax²-2x+5在（

2

3

，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，可得f′（1）=0，從而可求實數a的值；
（2）求出函數的導數，由題意得在（

2

3

，1）內方程f′（x）=0不可能有兩個解，故要使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是單調增函數也不是單調減函數的充要條件是f′（

1

3

）•f′（

1

2

）＜0，從而可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax-2
∵f（x）=x³+ax²-2x+5在（

2

3

，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴f′（1）=0，
∴a=-

1

2

． …（6分）
（2）令f′（x）=3x²+2ax-2=0．
∵△=4a²+24＞0，∴方程有兩個實根，…（8分）
分別記為x₁ x₂．由于x₁•x₂=-

2

3

，說明x₁，x₂一正一負，
即在（

2

3

，1）內方程f′（x）=0不可能有兩個解．…（10分）
故要使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是單調增函數也不是單調減函數的充要條件是
f′（

1

3

）•f′（

1

2

）＜0，即（

1

3

+

2

3

a-2）（

3

4

+a-2）＜0．…（13分）
解得

5

4

＜a＜

5

2

． …（15分）
∵a是正整數，∴a=2．…（16分）

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查函數的極值，同時考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是得出在（

2

3

，1）內方程f′（x）=0不可能有兩個解