Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的圖象在處的切線方程；

（2）是否存在實數，使得對任意的，都有函數的圖象在的圖象的下方？若存在，求出最大的整數的值；若不存在，請說明理由；

（參考數據： ）

Answer 1

【答案】（1）所求切線的方程為 （2）存在實數滿足題意，且最大整數的值為.

【解析】【試題分析】（1）依據題設先求出切點坐標，再對函數求導，進而求出在切點處的導函數值即為切線的斜率，然后運用點斜式求出切線方程；（2）先依據題設建立不等式，進而將問題轉化為即對恒成立。然后構造函數，再求導數， 令，則，

因為在上單調遞增， ， ，

且的圖象在上連續，所以存在，使得，即，最后判定當時， 單調遞減；當時， 單調遞增，

則取到最小值 ，

所以，即在區間內單調遞增. 所以，即存在實數滿足題意，且最大整數的值為。

解：(1)因為，所以，則所求切線的斜率為.

又，故所求切線的方程為.

(2)假設存在實數滿足題意，則不等式對恒成立.

即對恒成立

令，則，

令，則，

因為在上單調遞增， ， ，/span>

且的圖象在上連續，所以存在，使得，即，

則，

所以當時， 單調遞減；當時， 單調遞增，

則取到最小值 ，

所以，即在區間內單調遞增.

所以，

所以存在實數滿足題意，且最大整數的值為.