Question

（理）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點(diǎn)E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EG與BD所成角的大小；
（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出線段CQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示，寫出點(diǎn)E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量 ，的坐標(biāo)，利用異面直線EG與BD所成角公式求出異面直線EG與BD所成角大小即可；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即先假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件，設(shè)點(diǎn)Q（x，2，0），平面EFQ的法向量為 ，再點(diǎn)A到平面EFQ的距離，求出x，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，點(diǎn)E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
則 ，．
設(shè)異面直線EG與BD所成角為θ =，
所以異面直
線EG與BD所成角大小為 ．
（2）假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件，
設(shè)點(diǎn)Q（x，2，0），平面EFQ的法向量為 ，
則有 得到y(tǒng)=0，z=xx，取x=1，
所以 ，
則 ，
又x＞0，解得 ，
所以點(diǎn) 即 ，
則 ．
所以在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件，且線段CQ的長度為 ．
點(diǎn)評：考查利用空間向量證明垂直和求夾角和距離問題，以及平行向量與共線向量的判定定理，體現(xiàn) 了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．