Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（m+1）-ma_n對任意正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，且m＜-1，
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列{a_n}的公比q=f（m），數(shù)列{b_n}滿足：，求數(shù)列{b_n•b_n+1}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n，S_n+1=（m+1）-ma_n+1，相減，
得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即，
所以{a_n}是等比數(shù)列
（2）當n=1時，a₁=m+1-ma₁，
則a₁=1，
從而，
由（1）知，
所以（n≥2）
∴，
∴，
，
∴=．
分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，兩式相減即可證得{a_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）可求得a₁，從而可得b₁，由，，可求，從而求得b_n=，繼而有，T_n可求．
點評：本題考查數(shù)列的求和，難點在于求b_n，著重考查學生裂項法求和，屬于中檔題．