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 (本小題8分)已知圓C過點M(0,-2)、N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.

(1)求圓C的方程;

(2)設直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點,是否存在實數a,使得過點P(2,0)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實數a的值;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)圓C的方程為:x2+y2-6x+4y+4=0 ;

(2)不存在實數,使得過點的直線l垂直平分弦

【解析】此題考查了利用待定系數法求圓的一般式方程,垂直平分線的性質及方程與函數的綜合.此題第二問利用的方法是反證法,此方法的步驟為:先否定結論,然后利用正確的推理得出與已知,定理及公理矛盾,得到假設錯誤,故原結論成立

(1)設出圓的一般式方程,表示出圓心坐標,把圓心坐標代入到直線x+2y+1=0中得到一個關于D,E及F的方程,然后把M與N的坐標代入所設的圓的方程,得到兩個關于E,F及D的方程,三個方程聯立即可求出D,E及F的值,確定出圓C的方程;

(2)利用反證法,先假設滿足題意得點存在,根據線段垂直平分線的性質得到圓心C必然在直線l上,由點C與點P的坐標求出直線PC的斜率,根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1,求出直線AB的斜率,進而求出實數a的值,然后由已知直線ax-y+1=0,變形得到y=ax+1,代入(1)中求出的圓C的方程,消去y得到關于x的一元二次方程,根據直線與圓有兩個交點,得到根的判別式大于0,即可求出a的取值范圍,發現求出的a的值不在此范圍中,故假設錯誤,則不存在實數a,使得過點P(2,0)的直線l垂直平分弦AB.

解:(1)設圓C的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0

 則有      …………………2分

解得       

∴圓C的方程為:x2+y2-6x+4y+4=0  …………4分

(2)設符合條件的實數存在,

由于l垂直平分弦,故圓心必在l上.

所以l的斜率

,  所以.       …………5分

把直線ax-y+1=0 即y=ax +1.代入圓的方程,

消去,整理得

由于直線交圓兩點,

,解得

則實數的取值范圍是.…………………7分

由于

故不存在實數,使得過點的直線l垂直平分弦.………8分

 

練習冊系列答案
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