【題目】已知橢圓
1(
)的離心率為
，且經(jīng)過點
，直線
與橢圓E交于B，C兩點（B，C不與A重合）.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若O，B，C三點不共線時（O為坐標原點），求
面積的最大值；
（3）設直線AB，AC與
軸的交點分別為P，Q，求證：
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）證明見解析.
【解析】
（1）結合待定系數(shù)法和離心率公式及橢圓的關系式聯(lián)立解方程即可求解；
（2）聯(lián)立直線與橢圓標準方程，由韋達定理得x1+x2=﹣m，
，表示出弦長
，由點到直線距離公式求得O到直線BC的距離d，結合面積公式化簡可得S△OBC
，由不等式性質可求最值；
（3）畫出圖像，需將結論進行轉化，要求
，即求∠AQP=∠APQ，即證kAP+kAQ=0，即證kAB+kAC=0，結合（2）化簡即可得證；
（1）由題意可知:
，解得
，∴橢圓E的方程為：；
（2）由A不在l上，可知m≠1，由
，得：x2+mx+m2﹣3=0，
∴△=m2﹣4(m2﹣3)=12﹣3m2>0，即﹣2<m<2，且m≠1，m≠0，設B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∴x1+x2=﹣m，，
∴|BC|
，
又∵點O到直線BC的距離d
，
∴S△OBC
，
當且僅當m
（滿足△>0且m≠0，1）時，△OBC的面積取得最大值；
（3）
由（2）可知x1+x2=﹣m，
，∴kAP+kAQ=kAB+kAC
1
1
0，∴∠AQP=∠APQ，∴|AP|=|AQ|.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
過定點
，且與直線
相切.
（1）求動圓圓心的軌跡
的方程；
（2）設
是軌跡上異于原點
的兩個不同點，直線
和
的斜率分別為
，且
，證明直線
恒過定點，并求出該定點的坐標
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】從某部門參加職業(yè)技能測試的2000名員工中抽取100名員工，將其成績（滿分100分）按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估計該部門參加測試員工的成績的眾數(shù)中位數(shù)；
（2）估計該部門參加測試員工的平均成績；
（3）若成績在80分及以上為優(yōu)秀，請估計該部門2000名員工中成績達到優(yōu)秀的人數(shù)為多少?
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某種產(chǎn)品的質量以其質量指標值衡量，并依據(jù)質量指標值劃分等級如下表：
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：
(1)根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品
”的規(guī)定？
(2)在樣本中，按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率；
(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質量，開展了“質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產(chǎn)品質量指標值
近似滿足
，則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升了多少？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面四邊形ABCD中， AB＝2，BD＝
，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面積為2．
(1)求AD的長；
(2)求△CBD的面積．
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