Question

已知函數f(x)＝(x－a)²(x－b)(a，b∈R，a＜b).

(1)當a＝1，b＝2時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程.

(2)設x₁，x₂是f′(x)＝0的兩個根，x₃是f(x)的一個零點，且x₃≠x₁，x₃≠x₂.

證明：存在實數x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某種順序排列后成等差數列，并求x₄.

Answer 1

(1)當a＝1，b＝2時，f(x)＝(x－1)²(x－2)，

因為f′(x)＝(x－1)(3x－5)，故f′(2)＝1，f(2)＝0，

所以f(x)在點(2,0)處的切線方程為y＝x－2.

(2)因為f′(x)＝3(x－a)(x－)，

由于a<b，故a<.

所以f(x)的兩個極值點為x＝a，x＝.

不妨設x₁＝a，x₂＝，

因為x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f(x)的零點，

故x₃＝b.

又因為－a＝2(b－)，

所以x₁，x₄，x₂，x₃成等差數列.

所以x₄＝(a＋)＝，

所以存在實數x₄滿足題意，且x₄＝.