Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為4，離心率為.過右焦點的直線交橢圓于兩點（均不與重合），記直線的斜率分別為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在常數，當直線變動時，總有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）存在常數使得恒成立.

【解析】

（Ⅰ）由題意由題知解得，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）根據橢圓的準線方程，設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理即可求得C及D，存在λ，使得k1＝λk恒成立．

（Ⅰ）由題知解得

所以求橢圓E的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1．

由解得或

得或；均有．

猜測存在．

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k（x﹣1），C（x1，y1），D（x2，y2）．

由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．

則

故

0．

所以存在常數使得恒成立．