Question

已知為兩個正數，且，設當，時，．

（Ⅰ）求證：數列是遞減數列，數列是遞增數列；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）是否存在常數使得對任意，有，若存在，求出的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)證明：易知對任意，，．

由可知即．

同理，，即．

可知對任意，．

，

所以數列是遞減數列．

，

所以數列是遞增數列．                   ……………………5分

(Ⅱ)證明：．

                                                          ……………………10分

（Ⅲ）解：由，可得．

若存在常數使得對任意，有，

則對任意，．

即對任意成立．

即對任意成立．

設表示不超過的最大整數，則有．

即當時，．

與對任意成立矛盾．

所以，不存在常數使得對任意，有． ……14分