【題目】若中心在原點的橢圓
與雙曲線
有共同的焦點，且它們的離心率互為倒數，圓
的直徑是橢圓
的長軸，C是橢圓的上頂點，動直線AB過C點且與圓交于A、B兩點，CD垂直于AB交橢圓于點D．
（1）求橢圓的方程；
（2）求
面積的最大值，并求此時直線AB的方程．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求得雙曲線的焦點坐標和離心率，由此求得橢圓
的值，進而求得橢圓標準方程.（2）當直線
斜率不存在時，不能構成三角形
，不符合題意.當直線的斜率存在且不為零時，設出直線的方程，得到直線
的方程，計算圓心
到直線的的距離，由直線和圓相交的弦長公式計算出弦長
.利用直線的方程和橢圓方程，根據根與系數關系以及弦長公式，計算出弦長
.由此求得
，利用換元法和基本不等式，求得面積的最大值，根據基本不等式等號成立的條件求得直線的斜率，由此求得直線的方程.當直線的斜率為零時，計算出，不是最大值.
（1）解：雙曲線
的焦點為
，離心率為
，
由題意，
，
，解得：
，
.
橢圓方程為
；
（2）解：當直線AB斜率不存在時，不能構成三角形，不符合題意
當AB斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為
，直線CD的方程為
圓心
到直線AB的距離為
，
直線AB被圓
所截得的弦長
，
由
得：
，
，
，
故
，
，
令
，則
，
故
，
當且僅當
，即
時，等號成立，
此時
，
當直線AB斜率為0，即
軸時，
，
面積的最大值為
，這時直線AB的方程為
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價為每天180元時，房間會全部住滿；房間單價增加10元，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館每間每天需花費20元的各種維護費用．房間定價多少時，賓館利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】用
分別表示
的三個內角
所對邊的邊長，
表示的外接圓半徑.
（1）
，求
的長；
（2）在中，若
是鈍角，求證：
；
（3）給定三個正實數
，其中
，問滿足怎樣的關系時，以
為邊長，為外接圓半徑的不存在，存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在存在的情況下，用表示
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，以
軸為始邊做兩個銳角
，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為
（1）求
的值； （2）求
的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在△
中，
,
分別為
，
的中點，
為
的中點， 
，
．將△
沿折起到△
的位置，使得平面
平面
， 
為
的中點，如圖2．
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）求F到平面A1OB的距離．
圖1 圖2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是偶函數.
(1)求
的值；
(2)若函數
的圖像與
的圖像有交點，求
的取值范圍；
(3)若函數
，是否存在實數
使得
最小值為1，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，
是橢圓
上在第二象限內的一點，且直線
的斜率為
.
（1）求點的坐標；
（2）過點
作一條斜率為正數的直線
與橢圓從左向右依次交于
兩點，是否存在實數
使得
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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