Question

如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)，使得//平面；
②存在點(diǎn)，使得平面；
③對(duì)于任意的點(diǎn)，平面平面；
④對(duì)于任意的點(diǎn)，四棱錐的體積均不變.
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．

Answer 1

①③④

試題分析：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知也是的中點(diǎn)，此時(shí)//,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558563877.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以//，故①正確；
假設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558641719.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。所以四邊形為菱形或正方形，即。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558220776.png" style="vertical-align:middle;" />為正方體所以。所以假設(shè)不成立。故②不正確。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558766608.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558797757.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558859631.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558891642.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。同理可證，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558937700.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033558969598.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。故③正確。
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則。故④正確。
綜上可得正確的是①③④。