Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-x+b（a，b∈R且a≠0在區(qū)間（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：依題意，f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使得f′（x）＞0，分a＞0與a＜0討論，數(shù)形結(jié)合即可求得a的取值范圍．

解答：解：由已知，f′（x）=3ax²+2x-1…（2分）
∵f（x）在區(qū)間（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
∴f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使得f′（x）＞0，…（4分）
①當a＞0時，f′（x）=3ax²+2x-1是開口向上的拋物線，顯然，f′（x）在（2，+∞）上必存在子區(qū)間使得f′（x）＞0，即a＞0適合，…（6分）
②當a＜0時，f′（x）=3ax²+2x-1是開口向下的拋物線，若使f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使得f′（x）＞0，則f′（x）的圖象如圖所示：

∴

a＜0 △=4+12a＞0 f′(2)＞0

，解得-

1

4

＜a＜-

1

3

，…（10分）
故a的取值范圍是（-

1

4

，-

1

3

）∪（0，+∞）、

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的綜合應用，屬于中檔題．