Question

已知拋物線C的方程為x²=4y，直線y=2與拋物線C相交于M，N兩點，點A，B在拋物線C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為

2

；
（Ⅱ）若直線AB的斜率為

2

，求證點N到直線MA，MB的距離相等．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，由∠BMN=∠AMN，所以直線BM的斜率為-k，可求得M(-2

2

，2)，N(2

2

，2)，則直線AM的方程為y=k(x+2

2

)-2，由此能夠證明直線AB的斜率為

2

．
（Ⅱ）若直線AB的斜率為

2

，由x₁=4k_AM+2

2

，x₂=4k_BM+2

2

，得
k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

4(kAM+kBM)+4 2

4

=

2

，由此能求出點N到直線MA，MB的距離相等．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，∵∠BMN=∠AMN，所以直線BM的斜率為-k，
可求得M(-2

2

，2)，N(2

2

，2)，則直線AM的方程為y=k(x+2

2

)-2，
代入x²=4y得x²-4kx-8

2

k-8=0，∵x_Ax₁=-8

2

k-8∴x1=4k+2

2

，
同理x₂=-4k+2

2

，k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

．（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率為

2

，由（1）可得：x₁=4k_AM+2

2

，x₂=4k_BM+2

2

，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

4(kAM+kBM)+4 2

4

=

2

，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，
故點N到直線MA，MB的距離相等．（10分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．