Question

定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；
②當2≤x≤4時，f（x）=1-|x-3|．試解答下列問題：
（1）設c＞2，方程f（x）=2的根由小到大依次記為a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，試證明：數列a_2n-1+a_2n為等比數列；
（2）①是否存在常數c，使函數的所有極大值點均落在同一條直線上？若存在，試求出c的所有取值并寫出直線方程；若不存在，試說明理由；②是否存在常數c，使函數的所有極大值點均落在同一條以原點為頂點的拋物線上？若存在，試求出c的所有取值并寫出拋物線方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用分類討論的方法化簡函數f（x），令，從而n≥3，故或，當n≥3時，=，于是a₁+a₂=2²+2³，a₃+a₄=2³+2⁴，從而a_2n-1+a_2n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=12•2^n-1，n∈N^*．從而得出數列a_2n-1+a_2n構成以12為首項，2為公比的等比數列．
（2）記函數的極大值點為p_n（x_n，y_n）．由=（k表示直線的斜率），得c=2或c=1．分別求出當c=2時的拋物線方程，以及當c=4，時，拋物線方程即可．
解答：解：函數f（x）是一個分段函數．
；
；
．
（1）令，（2）
從而n≥3，故或，于是，或．
當n≥3時，=
故，，，，于是a₁+a₂=2²+2³，a₃+a₄=2³+2⁴，從而a_2n-1+a_2n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=12•2^n-1，n∈N^*．
故數列a_2n-1+a_2n構成以12為首項，2為公比的等比數列．（6分）
（2）記函數的極大值點為p_n（x_n，y_n）．
令，即x_n=3•2^n-2時，y_n=c^n-2，故p_n（3•2^n-2，c^n-2）．
分別令n=1，2，3得，p₂（3，1），p₃（6，c）．
由=（k表示直線的斜率），得c=2或c=1．
當c=2時，y_n=2^n-2，x_n=3•2^n-2，所有極大值點均在直線上；
當c=1時，y_n=1對n∈N^*恒成立，此時極大值點均在直線y=1上．（10分）
以原點為頂點的拋物線方程可設為x²=py（p≠0）或y²=qx（q≠0）．
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在拋物線x²=py（p≠0）上，則（3•2^n-2）²=pc^n-2，
即對n∈N^*恒成立，從而c=4，p=9，拋物線方程為x²=9y；
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在拋物線y²=qx（q≠0）上，則（c^n-2）²=3q•2^n-2，
即對n∈N^*恒成立，從而，拋物線方程為y²=x（14分）
點評：本小題主要考查拋物線的標準方程、利用導數研究函數的極值、不等式的解法、數列與函數的綜合等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．