Question

欲測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸的標記物C，測得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m，求河寬．欲測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸的標記物C，測得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m，求河寬．

Answer 1

分析：由三角形內角和定理算出C=180°-A-B=60°，在△ABC中由正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

的式子解出BC=40

6

，最后利用三角形面積公式進行等積變換，即可算出題中所求的河寬為（60+20

3

）m．

解答：解：由題意，可得
C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°
∵在△ABC中，由正弦定理得

AB

sinC

=

BC

sinA

∴BC=

ABsinA

sinC

=

120×sin45°

sin60°

=40

6

又∵△ABC的面積滿足S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB=

1

2

AB•h
∴AB邊的高h滿足：h=BCsinB=40

6

×

6 + 2

4

=（60+20

3

）m
即題中所求的河寬為（60+20

3

）m．

點評：本題給出實際應用問題，求河的寬度．著重考查了三角形內角和定理、正弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．