Question

【題目】(2016·廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，過線段AD的中點P作BC的平行線，分別交AB，AC于點M，N.

(1)證明：MN⊥平面ADD1A1；

(2)求二面角A－A1M－N的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證線面垂直，就要證線線垂直，即要證與平面內兩條相交直線垂直，首先由三棱柱側棱與底面垂直可得，由等腰三角形性質知，從而有，因此即證線面垂直；（2）要求二面角，關鍵是作出二面角的平面角，一般要找到二面角的一個面的垂線，則平面角易作，因此我們連接，作于，由（1）可證平面，根據三垂線定理可得所求二面角的平面角，并在相應直角三角形中可求得此角大小.

試題解析：(1)因為AB＝AC，D是BC的中點，

所以BC⊥AD.

由題可知MN∥BC，

所以MN⊥AD.

因為AA1⊥平面ABC，MN平面ABC，

所以AA1⊥MN.

又AD，AA1在平面ADD1A1內，且AD與AA1相交于點A，

所以MN⊥平面ADD1A1.

(2)解　如圖，連結A1P，過點A作AE⊥A1P于點E，過點E作EF⊥A1M于點F，連結AF.

由(1)知，MN⊥平面AEA1，

所以平面AEA1⊥平面A1MN.

因為平面AEA1∩平面A1MN＝A1P，AE⊥A1P，AE平面AEA1，

所以AE⊥平面A1MN，則A1M⊥AE，又AE∩EF＝E，

所以A1M⊥平面AEF，則A1M⊥AF，

故∠AFE為二面角A－A1M－N的平面角(設為θ)．

設AA1＝1，則由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，

D為BC的中點，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.

又P為AD的中點，M為AB的中點，

所以AP＝，AM＝1.

在Rt△AA1P中，A1P＝，

在Rt△A1AM中，A1M＝，

從而AE＝，

AF＝，

所以sinθ＝.

因為∠AFE為銳角，

所以.

故二面角A－A1M－N的余弦值為.