Question

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在上.

（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；

（2）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點，

①求線段AB的長；

②問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；

Answer 1

（1）y²=4x（2）;不存在

解析:

（1）設M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=.化簡得：.

（2）由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）.

由消y得3x²－10x+3=0，

解得x₁=，x₂=3.　所以A點坐標為（），B點坐標為（3，－2），

|AB|=|x₁-x₂|=.假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

① ②

由①－②得4²+（y+2）²=（）²+（y－）²，

解得y=－.但y=－不符合①，

所以由①，②組成的方程組無解.

因此，直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形.