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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

設(shè)m，n是給定的整數(shù)，，是一個正2n+1邊形，．求頂點屬于P且恰有兩個內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個數(shù)．

見解析

解析:

先證一個引理：頂點在P中的凸m邊形至多有兩個銳角，且有兩個銳角時，這兩個銳角必相鄰．

事實上，設(shè)這個凸邊形為，只考慮至少有一個銳角的情況，此時不妨設(shè)，則

，

更有．

而+，故其中至多一個為銳角，這就證明了引理．

由引理知，若凸邊形中恰有兩個內(nèi)角是銳角，則它們對應(yīng)的頂點相鄰．

在凸邊形中，設(shè)頂點與為兩個相鄰頂點，且在這兩個頂點處的內(nèi)角均為銳角．設(shè)與的劣弧上包含了的條邊（），這樣的在固定時恰有對．

（1）若凸邊形的其余個頂點全在劣弧上，而劣弧上有個中的點，此時這個頂點的取法數(shù)為．

（2）若凸邊形的其余個頂點全在優(yōu)弧上，取，的對徑點，，由于凸邊形在頂點，處的內(nèi)角為銳角，所以，其余的個頂點全在劣弧上，而劣弧上恰有個中的點，此時這個頂點的取法數(shù)為．

所以，滿足題設(shè)的凸邊形的個數(shù)為

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f₁（x）=x²，f2(x)=

(x＜0)中哪些是各自定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m，記S_f=a₁+a₂+…+a_m．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求S_f的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中S_f的最大值記為h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a對任意給定的正整數(shù)m恒成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（

x1+

x2）＜

f(x1)+

f(x2)，則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x²是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)a∈[0，1]以及D中的任意兩數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（ax₁+（1-a）x₂）≤af（x₁）+（1-a）f（x₂），則稱f（x）為定義在D 上的π函數(shù)．已知f（x）是R上的m函數(shù)．m是給定的正整數(shù)，設(shè)a_n=f（n），n=0，1，2，…m，且a₀=0，a_m=2m，記S_f=a₁+a₂+…+a_m．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求S_f的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m，n是給定的整數(shù)，